Оказалось, что можно. Надо сделать дамп памяти процесса браузера, прогнать его grep, и сохранить найденное в файл.  Решения есть для всех систем, но в силу своего интереса к linux, приведу решение только под него. Остальные можно найти по ссылке в конце записи.

Убедитесь, что у вас установлен пакет gdb (GNU Debugger). Вам понадобится утилита gcore, которая может делать дамп оперативной памяти, которую использует запущенный процесс с определённым PID. Установка в Manjaro:

yaourt -S gdb

Узнаём PID процесса. Надеюсь браузер вы не закрыли:

ps -e | grep firefox

Теперь запустите gcore, чтобы создать дамп памяти для этого процесса: 

gcore номер_процесса

Во избежание глюков я сразу запускал от sudo. Плюс надо сперва выбрать каталог с достаточным свободным местом - жирнолис очень прожорлив по памяти.

В текущем каталоге при запуске gcore появляется файл core.номер_процесса (например, core.20727). Кстати, учитывайте, что размер файла может быть очень большим. Например, у меня он сейчас получился 934 MiB.

Теперь попробуйте с помощью grep проверить, есть ли в дампе нужные данные. Например, если в тексте вы упоминали слово копираст, то:

grep 'копираст' core.20727

В случае успеха можно смело вырезать фрагмент в текстовой файл:

grep -B 20 -A 20 -a 'копираст' core.20727 > /path/to

В данном случае вы сообщаете grep, что с данным двоичным файлом требуется работать как с текстом, а также что для каждого совпадения требуется вывести 20 предшествующих и 20 последующих строк.

Теперь можно просмотреть найденное:

less /path/to